Question

4．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin²（x-$\frac{π}{12}$）
（1）求函数f（x）的最小正周期，最大值及取到最大值的x的取值集合；
（2）已知锐角θ满足f（θ）=$\frac{3}{2}$，求cos（$\frac{5π}{12}$-θ）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、最值，得出结论．
（2）由题意求得sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，可得 cos²（$\frac{5π}{12}$-θ）的值，再根据半角公式，求得 cos（$\frac{5π}{12}$-θ）的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin²（x-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1-cos（2x-$\frac{π}{6}$）=2[（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{6}$）]
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，当2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为3，此时，x的取值集合为{x|x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z}．
（2）∵锐角θ满足f（θ）=2sin（2θ-$\frac{π}{3}$）+1=$\frac{3}{2}$，∴sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，
∴cos²（$\frac{5π}{12}$-θ）=$\frac{1+cos（\frac{5π}{6}-2θ）}{2}$=$\frac{1-sin（\frac{π}{3}-2θ）}{2}$=$\frac{1+sin（2θ-\frac{π}{3}）}{2}$=$\frac{1+\frac{1}{4}}{2}$=$\frac{5}{8}$．
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$）∴$\frac{5π}{12}$-θ∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$），∴cos（$\frac{5π}{12}$-θ）＞0，∴cos（$\frac{5π}{12}$-θ）=$\sqrt{\frac{5}{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、最值，属于中档题．