Question

19．设△ABC的三个内角为A，B，C，若$\sqrt{3}$sin（A+B）=1+cos（A+B），则C的值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由已知利用三角形内角和定理，诱导公式可求$\sqrt{3}$sinC+cosC=1，利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可得：sin（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合范围C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），即可得解C的值．

解答 解：∵$\sqrt{3}$sin（A+B）=1+cos（A+B），
∴$\sqrt{3}$sin（π-C）=1+cos（π-C），可得：$\sqrt{3}$sinC+cosC=1，
∴2sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，可得：sin（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得：C=$\frac{2π}{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．