Question

9．给出如下四个命题：

（1）图①中的阴影部分可用集合{（x，y）|x²+y²-2y＜0}
（2）设两个正态分布N（μ₁，σ₁²）（σ₁＞0）和N（μ₂，σ₂²）（σ₂＞0曲线如图②所示，则μ₁＜μ₂，σ₁＜σ₂
（3）已知边长为2的等边三角形ABC，过C作BC的垂线l，如图③，则将△ABC绕l旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是2$\sqrt{3}$π
（4）执行如图④所示的程序框图，输出S的值是-$\frac{1}{2}$．
其中正确命题的序号是（1）（3）．

Answer 1

分析 （1）直接由图形可得阴影边界所对应圆的方程，再用集合表示阴影区域判断（1）；（2）从正态曲线关于直线x=μ对称，看μ的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中判断（2）；对于（3），几何体为圆台减去一个小圆锥，分别求出圆台和圆锥的体积判断；对于（4），读取框图，求出S的值加以判断．

解答 解：（1）图①中的阴影部分是圆x²+y²-2y=0及其内部的点，可用集合{（x，y）|x²+y²-2y＜0}表示，故（1）正确；
（2）从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ₁＜μ₂，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小．∴σ₁＞σ₂，故（2）错误；
（3）则将△ABC绕l旋转一周得到的几何体为圆台挖去一个小圆锥，圆台的上下底面半径分别为r=1，R=2，圆台的高为h=$\sqrt{3}$．
圆锥的底面半径为r′=1，高为h=$\sqrt{3}$．∴圆台的上底面积为S=πr²=π，下底面积为S′=πR²=4π，圆锥的底面积为π，
∴圆台的体积V₁=$\frac{1}{3}$（π+4π+2π）•$\sqrt{3}$=$\frac{7}{3}\sqrt{3}π$，圆锥的体积V₂=$\frac{1}{3}$•π•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$π．
∴几何体的体积V=V₁-V₂=2$\sqrt{3}$π，故（3）正确；
对于（4），给k赋值1，执行k=1+1=2，判断2＞4不成立，执行k=2+1=3，判断3＞4不成立，执行k=3+1=4，判断4＞4不成立，执行k=4+1=5，
判断5＞4成立，执行S=sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{1}{2}$，输出S的值是$\frac{1}{2}$，是否结束，故（4）错误．
故答案为：（1）（3）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．