Question

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（-2，1），则直线l的斜率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，四个顶点构成的四边形的面积为12，列出方程组求出a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，从而得到椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，再由直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（-2，1），利用点差法能求出直线l的斜率．

解答 解：∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，四个顶点构成的四边形的面积为12，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2ab=12}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∵直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（-2，1），
∴设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
又$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，两式相减，得：$\frac{1}{12}$（x₁-x₂）（x₁+x₂）+$\frac{1}{3}$（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴-$\frac{1}{3}$（x₁-x₂）+$\frac{2}{3}$（y₁-y₂）=0，
∴直线l的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点差法的合理运用．