Question

10．设函数f（x）=e^1+|x|-$\frac{1}{{1+{x^4}}}$，则使得f（2x）＜f（1-x）成立的x的取值范围是（　　）

• A． $（-1，\frac{1}{3}）$
• B． $（-∞，\frac{1}{3}）$
• C． （-∞，-1）
• D． $（-\frac{1}{3}，1）$

Answer 1

分析 由已知可得，函数f（x）为偶函数，且在x≥0时为增函数，在x≤0时为减函数，若f（2x）＜f（1-x），则|2x|＜|1-x|，解得答案．

解答 解：∵函数数f（x）=e^1+|x|-$\frac{1}{{1+{x^4}}}$，满足f（-x）=f（x），
故函数f（x）为偶函数，
当x≥0时，y=e^1+|x|=e^1+x为增函数，y=$\frac{1}{{1+{x^4}}}$为减函数，
故函数f（x）在x≥0时为增函数，在x≤0时为减函数，
若f（2x）＜f（1-x），则|2x|＜|1-x|，
即4x²＜x²-2x+1，即3x²+2x-1＜0，
解得：x∈（-1，$\frac{1}{3}$），
故选：A

点评 本题考查的知识点是函数单调性，函数的奇偶性，绝对值不等式的解法，难度中档．