Question

6．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{4}y}\end{array}\right.$得到曲线C′．
（1）求曲线C′的普通方程；
（2）若点A在曲线C′上，点D（1，3），当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）求出曲线C′的参数方程，再求曲线C′的普通方程；
（2）利用代入法，求AD中点P的轨迹方程．

解答 解：（1）将$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$代入$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{4}y}\end{array}\right.$，得到曲线C′的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x′=2cosθ}\\{y′=sinθ}\end{array}\right.$，
∴曲线C′的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）设点P（x，y），A（x₀，y₀），
又D（1，3），且AD的中点为P，
∴x₀=2x-1，y₀=2y-3，
又点A在曲线C′上，代入C′的普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
得 （2x-1）²+4（2y-3）²=4，
∴动点P的轨迹方程为 （2x-1）²+4（2y-3）²=4．

点评 本题考查参数方程与普通方程的互化，考查代入法求轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．