Question

正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．，投影面积最大应是线段AB相对的侧棱与投影面平行时取到，投影面的最小值应在正四面体的一面与投影面垂直时取到．

解答：解：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角形，
由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为

1

2

×1×1=

1

2

当正四面体的与AB平行的棱与投影面垂直时，此时投影面面积最小，
此时投影面是一个三角形，其底面边长为线段AB的投影，长度为1，此三角形的高是AB，CD两线之间的距离，取CD的中点为M，连接MA，MB可解得MA=MB=

3

2

，再取AB中点N，连接MN，此线段长度即为AB，CD两线之间的距离，可解得MN=

2

2

，此时投影面的面积是

1

2

×

2

2

×1=

2

4

，
故投影面的取值范围是[

2

4

，

1

2

]
故答案为[

2

4

，

1

2

]

点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题