Question

【题目】已知函数f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣ sin2x+sinxcosx
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移m个单位，使所得函数为偶函数，求m的最小正值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣ sin2x+sinxcosx

=2cosx（sinxcos +cosxsin ）﹣ sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+ cos2x﹣ sin2x

=sin2x+ cos2x

=2sin（2x+ ）；

令2x+ ∈[ +2kπ， +2kπ]，k∈Z得：x∈[ +kπ， +kπ]，k∈Z，

即函数f（x）的单调递减区间为[ +kπ， +kπ]，k∈Z

（2）解：将函数f（x）的图象向右平移m个单位，

可得函数g（x）=2sin（2x﹣2m+ ）的图象

∵函数为偶函数，

故﹣2m+ = +kπ，k∈Z，

当k=﹣1时，m取最小正值

【解析】先利用和角公式，倍角公式，将函数f（x）化为正弦型函数的形式；（1）令2x+ ∈[ +2kπ， +2kπ]，k∈Z，可得函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移m个单位，使所得函数为偶函数，则﹣2m+ = +kπ，k∈Z，进而得到答案．
【考点精析】掌握复合函数单调性的判断方法是解答本题的根本，需要知道复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”．