Question

【题目】设f（x）=et（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）
（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；
（Ⅱ）求证：f（x）≥0．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 若t=1，则f（x）=ex﹣1﹣lnx，
因为f′（1）=0，
且0＜x＜1时， ，即f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递减；
x＞1时， ，即f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）
所以x=1是函数f（x）的极小值点；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0. ；
令 ，则 ，故g（x）单调递增．
又g（1）=0，
当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，
即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，
即f（x）的单调递减区间为（0，1）
所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，判断即可；（Ⅱ）求出函数的导数，令 ，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．