Question

3．给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数y=（$\sqrt{x}$）²表示同一个函数；
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③函数y=3（x-1）²的图象可由y=3x²的图象向右平移1个单位得到；
④y=2^|x|的最小值为1
⑤对于函数f（x），若f（-1）•f（3）＜0，则方程f（x）=0在区间[-1，3]上有一实根；
其中正确命题的序号是③④．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 对于①，考查函数y=|x|与函数y=（$\sqrt{x}$）²的定义域，可判断①的正误；
对于②，举例说明，函数y=$\frac{1}{x}$为奇函数，函数的图象不通过直角坐标系的原点，可判断②的正误；
对于③，将函数y=3x²的图象向右平移1个单位得到函数y=3（x-1）²的图象，可判断③的正误；
对于④，由y=2^|x|≥2⁰=1，可判断④的正误；
对于⑤，举例说明，函数f（x）=$\frac{1}{x}$，满足f（-1）•f（3）＜0，但方程f（x）=0在区间[-1，3]上有一实根，可判断⑤的正误；

解答 解：对于①，函数y=|x|的定义域为R，与函数y=（$\sqrt{x}$）²的定义域为[0，+∞），故函数y=|x|与函数y=（$\sqrt{x}$）²不表示同一个函数，故①错误；
对于②，函数y=$\frac{1}{x}$为奇函数，但它的图象不通过直角坐标系的原点，故②错误；
对于③，将函数y=3x²的图象向右平移1个单位得到函数y=3（x-1）²的图象，故③正确；
对于④，由于|x|≥0，故y=2^|x|≥2⁰=1，因此y=2^|x|的最小值为1，故④正确；
对于⑤，函数f（x）=$\frac{1}{x}$，满足f（-1）•f（3）＜0，但方程f（x）=0在区间[-1，3]上没有实根，故⑤错误；
综上所述，其中正确命题的序号是 ③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、单调性与最值，考查函数的平移变换、函数的零点存在定理，特值排除法是常用的技巧，属于中档题．