Question

为了降低能源损耗，三明市某室内体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=

40

kx+5

（0≤x≤10），已知隔热层厚度为1cm时，每年能源消耗费用为5万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由每年的能源消耗费用为C（x），当x=1时，可得k的值；又加装隔热层的费用为C₁（x），所以总费用函数f（x）可表示出来，其定义域可得；
（Ⅱ）对函数f（x）变形，利用基本不等式求得最值，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）x=1时，c=5，∴k=3，
∴C（x）=

40

3x+5

，
∴f（x）=6z+

20×40

3x+5

=6x+

800

3x+5

（0≤x≤10）；
（Ⅱ）设3x+5=t，t∈[5，35]，则y=2t+

800

t

-10≥2

2t• 800 t

-10=70，
当且仅当2t=

800

t

，即t=20时等号成立，此时x=5，f（x）的最小值为70，
∴当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．

点评：本题考查了平均值不等式在函数极值中的应用，在利用平均值不等式求最值时，要注意等号成立的条件是什么．