Question

如图，三棱锥C-ABD中，AB=AD=BD=BC=CD=2，O为BD的中点，∠AOC=120°，P为AC上一点，Q为AO上一点，且

AP

PC

=

AQ

QO

=2．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由

AP

PC

=

AQ

QO

，可得PQ∥CO，利用线面平行的判定定理证明PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）利用VP-ABD=

2

3

VC-ABD，求三棱锥P-ABD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵

AP

PC

=

AQ

QO

，
∴PQ∥CO…（1分）
又∵PQ?平面BCD，CO?平面BCD…（2分）
∴PQ∥平面BCD…（3分）
（Ⅱ）解：由等边△ABD，等边△BCD，O为BD的中点得：BD⊥AO，BD⊥OC，AO∩OC=O，∴BD⊥平面AOC…（5分）
在△AOC中，OA=OC=

3

，∠AOC=120°，∴S△AOC=

1

2

OA•OC•sin∠AOC=

3 3

4

…（7分）
∴VC-ABD=

1

3

S△AOC•BD=

1

3

•

3 3

4

•2=

3

2

…（9分）
∵

AP

PC

=2，∴VP-ABD=

2

3

VC-ABD=

2

3

•

3

2

=

3

3

…（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．