Question

已知等边三角形的边长为3，点D，E分别在边AB，AC上，且满足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，将△ADE沿DE折叠到△A₁DE的位置，使平面A₁DE⊥平面BCDE，连接A₁B，A₁C．
（1）证明：A₁D⊥平面BCDE；
（2）在线段BD上是否存在点M，使得CM∥平面A₁DE？若存在，求出BM的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的性质,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出DE⊥AD，折叠后有DE⊥A₁D，由此能证明A₁D⊥平面BCDE．
（2）过C作BD边的垂线，垂直即为所求的点M．M为BC边的中点，BM=

3

2

．

解答： （1）证明：在△ABC中，
∵

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，等边三角形的边长为3，
∴AD=CE=1，BD=AE=2，
在△ADE中，∠A=60°，AD=1，AE=2，
由余弦定理，得DE=

3

，
∴AE²=AD²+DE²，
∴△ADE为直角三角形，且DE⊥AD，
折叠后有DE⊥A₁D，
∵平面A₁DE⊥平面BCDE，
平面A₁DE∩平面BCDE=DE，
A₁D?平面A₁DE，∴A₁D⊥平面BCDE．
（2）解：过C作BD边的垂线，垂足即为所求的点M．
证明：由（1）知DE⊥AB于E，于是DE∥CM，
∵CM不包含于平面A₁DE，DE?平面A₁DE．
∴CM∥平面A₁DE，
∵M为BC边的中点，∴BM=

3

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查使直线平行于平面的点是否存在的判断与证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．