Question

已知等差数列{a_n}中，a₅=8，a₁₀=18，三点（a₁，0）、（a₂，2）、（a₃，0）在圆C上，
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：mx+ny+1=0被圆C所截得的弦长为2

3

，求m²+n²的最小值；
（Ⅲ）若一条动直线与圆C交于A、B两点，且总有|OA|•|OB|=8，（点O为坐标原点），试探究直线AB是否恒与一个定圆相切，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由等差数列的性质求出a₁=0，a₂=2，a₃=4，将三点（0，0），（2，2），（4，0）分别代入圆的一般方程，求出圆的方程为x²+y²-4x=0．
（Ⅱ）由已知得n²=3m²+4m+1，由此利用函数的单调性求出当m=-

1

3

时，（m²+n²）_min=

1

9

．
（Ⅲ）设∠AOB=θ，取AB中点D，连结CD，知∠ACD=∠AOB=θ，CD⊥AB，在Rt△ACD中，|AD|=rsinθ=2sinθ，|AB|=2|AD|=4sinθ，由此能求出以点O为圆心，2为半径的圆恒与直线AB相切，圆的方程为x²+y²=4．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，则5d=a₁₀-a₅=10，解得d=2，
∴a_n=a₅+（n-5）d=8+2（n-5）=2n-2，
解得a₁=0，a₂=2，a₃=4，
将三点（0，0），（2，2），（4，0）分别代入圆的一般方程：
x²+y²+Dx+Ey+F=0，得：

F=0 8+2D+2E+F=0 16+4D+F=0

，解得

D=-4 E=0 F=0

，
∴圆的方程为x²+y²-4x=0．
（Ⅱ）由已知得

|2m+1|

m2+n2

=

4-3

，化简，得n²=3m²+4m+1，
∵n²≥0，∴（3m+1）（m+1）≥0，解得m≥-

1

3

，或m≤-1．
∵m²+n²=4m²+4m+1=（2m+1）²，m≥-

1

3

或m≤-1，
又4m²+4m+1在m≥-

1

3

单调增，在m≤-1单调减，
∴当m=-

1

3

时，（m²+n²）_min=

1

9

．
（Ⅲ）设∠AOB=θ，取AB中点D，
连结CD，则可知∠ACD=∠AOB=θ，CD⊥AB，
在Rt△ACD中，|AD|=rsinθ=2sinθ，
∴|AB|=2|AD|=4sinθ，
∵S△AOB=

1

2

|OA|•|OB|sinθ
=

1

2

|AB|d，（d为点O到直线AB的距离）．
又|OA|•|OB|=8，解得d=2，
∵定点O到动直线AB的距离d=2，
∴以点O为圆心，2为半径的圆恒与直线AB相切，圆的方程为x²+y²=4．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查最小值的求法，探究圆的方程量否存在及求法，解题时要注意数列、不等式、三角函数、圆等知识点的合理运用．