Question

在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边sinθ≠0，已知c=2，C=

π

3

．
（1）若△ABC的面积等于

3

，求a，b；
（2）求a+b的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用三角形面积公式列出关系式，将sinC的值及已知面积代入求出ab的值，再利用余弦定理列出关系式，将c，cosC的值代入得到另一个关系式，联立即可求出a与b的值；
（2）利用正弦定理列出关系式，将c与sinC的值代入求出2R的值，进而表示出a与b，代入a+b中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据这个角的范围求出正弦函数的值域，即可确定出a+b的范围．

解答： 解：（1）∵△ABC面积为

3

，C=

π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

，即ab=4①，
又由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+b²-ab，
整理得：a²+b²=8②，
联立①②解得：a=b=2；
（2）在锐角△ABC中，C=

π

3

，得到A∈（

π

6

，

π

2

），
由正弦定理得：

c

sinC

=

2

3 2

=2R，即2R=

4 3

3

，
∴由正弦定理得：a=2RsinA=

4 3

3

sinA，b=2RsinB=

4 3

3

sinB，
∴a+b=

4

3

（sinA+sinB）=

4

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]=

4

3

（

3

2

sinA+

3

2

cosA）=4sin（A+

π

6

），
由A∈（

π

6

，

π

2

）得：A+

π

6

∈（

π

3

，

2π

3

），
∴sin（

π

6

+A）∈（

3

2

，1]，
则a+b∈（2

3

，4]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．