Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率是

2

2

，且点P（1，

2

2

）在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点D（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，试求△OEF面积的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由e=

1- b2 a2

=

2

2

，得

x2

2b2

+

y2

b2

=1，把点P（1，

2

2

）代入，能求出椭圆的方程．
（2）设l的方程为y=kx+2，代入

x2

2

+y2=1，得：（2k²+1）x²+8kx+6=0，由此韦达定理结合已知条件能求出△OEF面积的取值范围．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率是

2

2

，
∴e=

1- b2 a2

=

2

2

，∴a=

2

b，c=b，
∴椭圆的方程

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
∵点P（1，

2

2

）在椭圆上，∴

1

2b2

+

1

2b2

=1，解得b²=1，
∴

x2

2

+y2=1．…（5分）
（2）由题意知直线l的斜率存在，
设l的方程为y=kx+2，代入

x2

2

+y2=1，得：
（2k²+1）x²+8kx+6=0，
由△＞0，解得k²＞

3

2

，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则

x1+x2= -8k2 2k2+1 x1x2= 6 2k2+1

，…（7分）
S_△OEF=S_△OED-S_△OFD
=

1

2

OD•|x1|-

1

2

OD|x2|
=

1

2

OD|x1-x2|
=

1

2

•2|x₁-x₂|
=|x₁-x₂|，
|x₁-x₂|=

(x1-x2)2-4x1x2

=

( -8k2 2k2+1 )2-4• 6 2k2+1

=

16k2-24 (2k2+1)2

=

16(k2- 3 2 ) (2k2+1)2

，
令k2-

3

2

=t，(t＞0)，∴k2=t+

3

2

，（t＞0）
∴S_△OEF=|x₁-x₂|=

16t (2t+4)2

=

4t (t+2)2

=2

t t2+4t+4

=2

1 t+ 4 t +4

≤2

1 4+4

=

2

2

．
∴S△OEF∈(0，

2

2

]．

点评：本题考是查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．