Question

已知函数f（x）=[x]+|sin

πx

2

|，x∈[-1，1]．其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2．
（Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可试判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求出函数f（x）的表达式，即可求函数f（x）的值域

解答： 解：（Ⅰ）∵f（-1）=-1+1=0，f（1）=1+1=0，
∴f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1），
即函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
（Ⅱ）f（x）=[x]+|sin

πx

2

|=

-1-sin πx 2 ，x∈[-1，0) sin πx 2 ，  x∈[0，1) 2 ，  x=1

，
当x∈[-1，0）时，f（0）＜f（x）≤f（-1），
即-1＜f（x）≤0，
当x∈[0，1）时，f（0）≤f（x）＜f（1），
即0≤＜f（x）＜1，
当x=1时，f（x）=2，
综上得函数f（x）的值域为（-1，1）∪{2}．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数值域的求解，根据函数的定义求出函数的表达式是解决本题的关键．