Question

已知方程x²+y²-2x+2my+m²-2m-2=0（m∈R）．
（1）若方程表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若方程表示的圆C的圆心C（1，1），求经过P（2，4）的圆C的切线方程；
（3）若直线x+y+t=0与（2）中的圆C交于A、B两点，且△ABC是直角三角形，求实数t的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）方程配方得（x-2）²+（y+m）²=3+2m，使方程表示圆，由此能求出实数m的取值范围．
（2）圆C的圆心为（1，-m），得m=-1，所以圆C的方程为（x-1）²+（y-1）²=1，由此能求出过点P（2，4）的切线方程．
（3）由题意知，|CA|=|CB|=1，且∠ACB=90°，由此利用圆心C到直线x+y+t=0的距离为

2

2

，能求出实数t的值．

解答： 解：（1）方程配方得（x-2）²+（y+m）²=3+2m，…（1分）
使方程表示圆，则3+2m＞0，m＞-

3

2

，
故实数m的取值范围是（-

3

2

，+∞）．…（3分）
（2）由（1）得，圆C的圆心为（1，-m），得m=-1，…（4分）
所以圆C的方程为（x-1）²+（y-1）²=1，…（5分）
①过点P（2，4）且垂直于x轴的直线与圆C相切，
即x=2是圆的切线；…（6分）
②当切线不垂直于x轴时，
设切线方程为y-4=k（x-2），
即kx-y+4-2k=0，
由

|k-3|

k2+1

=1，得k=

4

3

，
此时切线方程为y-4=

4

3

(x-2)，即4x-3y+4=0，…（8分）
综上，所求切线方程为x=2和4x-3y+4=0．…（9分）
（3）由题意知，|CA|=|CB|=1，且∠ACB=90°，
则圆心C到直线x+y+t=0的距离为

2

2

，即

|t+2|

2

=

2

2

．…（11分）
解得t=-3或t=-1．…（13分）

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查圆的切线方程的求法，考查圆心到直线的距离的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．