Question

如图所示，已知A，B分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，|OA|=2，点M为线段AB中点，直线OM交椭圆于C，D两点（其中O为坐标原点），△ABC与△ABD的面积分别记为S₁，S₂．
（1）当椭圆E的离心率e=

1

2

时，求椭圆E的方程；
（2）当椭圆E的离心率变变化时，

S1

S2

是否为定值？若是求出该定值，若不是说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出a=2，且e=

1

2

，由此能求出椭圆方程．
（2）由已知A（2，0），设B（0，b），则M(1，

b

2

)，由此利用点到直线距离公式结合已知条件能求出

S1

S2

是定值3-2

2

．

解答： （10分）
解：（1）∵A，B分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，|OA|=2，
椭圆E的离心率e=

1

2

，
∴a=2，且e=

1

2

，解得c=1，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
（2）由已知A（2，0），设B（0，b），则M(1，

b

2

)
直线OM：y=

b

2

x…（4分）
直线AB：bx+2y=2b…（5分）
由

x2 4 + y2 b2 =1 y= b 2 x

⇒b2x2+b2x2=4b2⇒x2=2，
∴C(

2

，

2

2

b)，D(-

2

，-

2

2

b)，
C到直线AB的距离为d1=

|2b-2 2 b|

b2+4

，
D到直线AB的距离为d2=

|2 2 b+2b|

b2+4

，…（9分）

S1

S2

=

1 2 |AB|•|2b-2 2 b|

1 2 |AB|•|2 2 b+2b|

=

|2-2 2 |

|2 2 +2|

=3-2

2

（定值）
∴

S1

S2

是定值，定值为3-2

2

．…（10分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两个三角形面积比值是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．