Question

在△ABC中，CA=3CB，cosC=-

1

3

，以A，B为焦点的椭圆E经过点C．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）若AB=2

3

，过AB的中心点O作任意一条直线与椭圆E交于M、N两点，求

AM

•

AN

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设|CB|=t，则|CA|=3t，由余弦定理，得|AB|=2

3

t，由此能求出离心率e．
（Ⅱ）由e=

3

2

，|AB|=2

3

，知c=

3

，a=2，b=1，以A，B所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，由此能求出x₀=0时，

AM

•

AN

有最大值2．

解答： 解：（Ⅰ）设|CB|=t，则|CA|=3t，
由余弦定理，得AB²=CB²+CA²-2CA•CB•cosC=12t²，
∴|AB|=2

3

t，
∵以A，B为焦点的椭圆E经过点C，
∴由椭圆定义知2a=|CB|+|CA|=4t，则a=2t，
又|AB|=2c，则c=

3

t，
∴离心率e=

c

a

=

3

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）e=

3

2

，∵|AB|=2

3

，
∴c=

3

，∴a=2，b=1，
以A，B所在直线为x轴，AB中点O为原点，
建立平面直角坐标系如图所示，
则对应的椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1，A（-

3

，0），
依题意设M（x₀，y₀），N（-x₀，y₀），
∴

AM

=(x0+

3

，y0)，

AN

=(-x0+

3

，-y0)，
∴

AM

•

AN

=(x0+

3

)(-x0+

3

)+y₀（-y₀）=-x02+3-y02，
∵

x02

4

+y02=1，
∴-x02+3-y02=-x02+3-(1-

x02

4

)=-

3

4

x02+2，
又∵-2≤x₀≤2，∴x₀=0时，

AM

•

AN

有最大值2．

点评：本题考查椭圆离心率的求法，考查向量数量积最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．