Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分图象如图．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

2

倍，再将所得函数图象向右平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再把（0，1）代入函数的解析式求得A的值，可得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得x的范围，可得g（x）的增区间．

解答： 解：（Ⅰ）根据f（x）的图象可得

3

4

T=

3

4

×

2π

ω

=

11π

6

-

π

3

，∴ω=1．
根据五点法作图可得 1×

π

3

+φ=

π

2

，求得 φ=

π

6

．
再把（0，1）代入函数的解析式可得 Asin

π

6

=1，求得A=2，故f（x）=2sin（x+

π

6

）．
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

2

倍，
可得y=2sin（2x+

π

6

）的图象；
再将所得函数图象向右平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]=2sin（2x-

π

6

）的图象．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故g（x）的增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．