Question

设f（x）=

-2x+a

2x+1+b

（a，b为常数）
（1）若a=b=1时，求证：f（x）不是奇函数；
（2）若a=1，b=2时，求证：f（x）是奇函数；
（3）若a=-1，b=-2时，解不等式f（x）≤3．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若a=b=1时，求出函数的表达式，利用函数奇偶性的定义即可判断f（x）不是奇函数；
（2）若a=1，b=2时，求出函数的表达式，利用函数奇偶性的定义即可判断f（x）是奇函数；
（3）若a=-1，b=-2时，求出函数的表达式，利用指数函数的性质即可判断解不等式．

解答： 解：（1）若a=b=1时，则f（x）=

-2x+a

2x+1+b

=

-2x+1

2x+1+1

，
则f（1）=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f（-1）=

-2-1+1

2-1+1+1

=

1

4

，
∵f（-1）≠-f（1），
∴f（x）不是奇函数；
（2）若a=1，b=2时，f（x）=

-2x+a

2x+1+b

=

-2x+1

2x+1+2

，
∵f（-x）=

-2-x+1

2-x+1+2

=

- 1 2x +1

2 2x +2

=

2x-1

2x+1+2

=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（3）若a=-1，b=-2时，f（x）=

-2x+a

2x+1+b

=

-2x-1

2x+1-2

=-

1

2

+

1

1-2x

，（x≠0）
则f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上为增函数．
①当x＞0，则2^x＞1，f（x）＜-

1

2

＜3，
②当x＜0，则2^x＜1，f（x）＞-

1

2

，
则由-

1

2

+

1

1-2x

≤3，解得x≤log2

5

7

，
∴f（x）≤3的解集为（-∞，log2

5

7

]∪（0，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及不等式的求解，根据定义法是解决本题的关键．