Question

设命题p：指数函数y=（m²-5m+7）^x在R上单调递增；命题q：y=lg（x²+2mx+m）的定义域为R，若“p∨q”为真命题，若“p∧q”为假命题．求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：分别利用指数函数的单调性、对数函数的定义域，分别解出命题p，q的m的取值范围；再利用“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得：p与q必一真一假．即可得出．

解答： 解：若命题p为真命题：指数函数y=（m²-5m+7）^x在R上单调递增，则m²-5m+7＞1，解得2＜m＜3；
若命题q为真命题：y=lg（x²+2mx+m）的定义域为R，则x²+2mx+m＞0对于任意实数恒成立，可得△=4m²-4m＜0，解得0＜m＜1．
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题．
∴p与q必一真一假．
当p真q假时，可得

2＜m＜3 m≤0或m≥1

，解得2＜m＜3．
当q真p假时，可得

0＜m＜1 m≤2或m≥3

，解得0＜m＜1．
综上可得：实数m的取值范围是（0，1）∪（2，3）．

点评：本题考查了指数函数的单调性、对数函数的定义域、复合命题的真假判断方法，考查了推理能力，属于中档题．