Question

如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（Ⅰ）求证：PC⊥AC；
（Ⅱ）求三棱锥V_B-MAC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，证明PC⊥平面ABC，然后证明PC⊥AC；
（Ⅱ）由PC⊥平面ABC，根据面面垂直的判定可得面ABC⊥面PVBM，再由两面垂直的性质定理可得三棱锥A-MBC的高，解直角三角形求出三棱锥A-MBC的高，则体积可求．

解答： （I）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，BC∩AB=B，
∴PC⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴PC⊥AC．
（II）解：∵PC⊥平面ABC，PC?平面PCBM，∴平面PCBM⊥平面ABC，
如图，在平面ABC中过A作AD垂直于BC的延长线与D，则AD⊥平面PCBM，则AD为三棱锥A-MBC的高，
∵∠ACB=120°，∴∠ACD=60°，在直角三角形ADC中，AD=ACsin60°=1×

3

2

．
又S_△BMC=S_{四边形PCBM}-S_△MPC=

1

2

（PM+BC）•PC-

1

2

PM•PC
=

1

2

（1+2）×1-

1

2

×1×1=1
∴V_B-MAC=V_A-MBC=

1

3

S△MBC•AD=

3

6

∴三棱锥B-MAC的体积为

3

6

．

点评：本题主要考查了直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质，考查三棱锥B-MAC的体积的计算，考查考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．