Question

设有两个命题，命题p：?x∈（1，

5

2

）使函数g（x）=log₂（ax²+2x-2）有意义；命题q：已知函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线2x+y=1平行，且f（x）在[a，a+1]上单调递减．若命题p或q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：对于命题p：?x∈（1，

5

2

）使函数g（x）=log₂（ax²+2x-2）有意义?不等式ax²+2x-2＞0有属于(1，

5

2

)的解?a＞(

2

x2

-

2

x

)min，x∈(1，

5

2

)．
利用二次函数的单调性即可得出其最小值．对于命题q：由函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线2x+y=1平行，可得

f′(-1)=3m-2n=-2 f(-1)=-m+n=2

，即可解得m，n．令f′（x）≤0，解得-

4

3

≤x≤0．由于f（x）在[a，a+1]上单调递减．可得[a，a+1]⊆[-

4

3

，0]．即可解得a的取值范围．由命题p或q为真，其中至少有一个为真命题即可得出．

解答： 解：对于命题p：?x∈（1，

5

2

）使函数g（x）=log₂（ax²+2x-2）有意义，
则不等式ax²+2x-2＞0有属于(1，

5

2

)的解；
即a＞(

2

x2

-

2

x

)min，x∈(1，

5

2

)．
∵1＜x＜

5

2

，∴

2

5

＜

1

x

＜1，
∴

2

x2

-

2

x

=2(

1

x

-

1

2

)2-

1

2

∈[-

1

2

，0)．
∴a＞-

1

2

．
命题q：由f′（x）=3mx²+2nx，
∵函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线2x+y=1平行，
∴

f′(-1)=3m-2n=-2 f(-1)=-m+n=2

，解得m=2，n=4．
∴f（x）=2x³+4x²，f′（x）=6x²+8x，令f′（x）≤0，解得-

4

3

≤x≤0．
∵f（x）在[a，a+1]上单调递减．
∴[a，a+1]⊆[-

4

3

，0]．
∴

a≥- 4 3 a+1≤0

，解得-

4

3

≤a≤-1．
若命题p或q为真，则-

4

3

≤a≤-1或a＞-

1

2

．
∴实数a的取值范围是[-

4

3

，-1]∪(-

1

2

，+∞)．

点评：本题考查了存在性问题的等价转化方法、二次函数的单调性、利用研究函数的单调性、导数的几何意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．