Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AA₁⊥平面ABC，D、E分别为A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且AF=

1

4

AB．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：31，若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（I）取AB的中点M，根据AF=

1

4

AB，得到F为AM的中点，又E为AA₁的中点，根据三角形中位线定理得EF∥A₁M，从而在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁DBM为平行四边形，进一步得出EF∥BD．最后根据线面平行的判定即可证出EF∥平面BC₁D．
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱AC上存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：31，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出AG与AC的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答： （I）证明：取AB的中点M，
∵AF=

1

4

AB，∴F为AM的中点，
又∵E为AA₁的中点，∴EF∥A₁M
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分别为A₁B₁，AB的中点，
∴A₁D∥BM，A₁D=BM，
∴A₁DBM为平行四边形，∴AM∥BD
∴EF∥BD．
∵BD?平面BC₁D，EF?平面BC₁D，
∴EF∥平面BC₁D．
（II）解：设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：31，
则V_E-AFG：V_ABC-A1B1C1=1：32，
∴（

1

3

×

1

2

AF•AGsin∠GAF•AE）：

1

2

AB•ACsin∠CAB•AA₁=

1

24

•

AG

AC

∴

1

24

•

AG

AC

=

1

32

，∴

AG

AC

=

3

4

，
∴AG=

3

4

AC．
∴符合要求的点G存在．

点评：本题考查线面平行，考查棱柱、棱锥、棱台的体积的计算，解题的关键是利用线面平行的判定证明线面平行，属于中档题．