Question

已知函数f（x）=（x²+ax）e^x在（0，1）上单调递减．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）令g（x）=[（a+3）x+a²+2a-1]e^x，h（x）=f′（x）-g（x），求h（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导得f′（x）=（x²+ax+2x+a）e^x，f（x）在（0，1）上单调递减，等价于f′（x）≤0在（0，1）上恒成立．只需M（x）=x²+ax+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．由二次函数的性质可得不等式组，解出即可；
（Ⅱ）可求h（x）=（x²-x-a²-a+1）e^x，h′（x）=（x+a+1）（x-a）e^x，可知a∉[1，2]，-a-1∈[

1

2

，+∞)．按照极值点-a-1在区间（1，2）左侧、区间内、区间右侧三种情况进行讨论，由单调性可求得函数的最小值；

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax）e^x=（x²+ax+2x+a）e^x，
若f（x）在（0，1）上单调递减，
则f′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
而e^x＞0，只需M（x）=x²+ax+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
于是

M(0)=a≤0 M(1)=2a+3≤0

，
解得a≤-

3

2

．
（Ⅱ）h（x）=f′（x）-g（x）=（x²-x-a²-a+1）e^x，
则h′（x）=（x²+x-a²-a）e^x=（x+a+1）（x-a）e^x，
令h′（x）=0，得x₁=a，x₂=-a-1，
∵a≤-

3

2

，∴a∉[1，2]，-a-1∈[

1

2

，+∞)．
①若-a-1∈[

1

2

，1]，即a∈[-2，-

3

2

]时，h′（x）＞0在[1，2]上成立，
此时h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（x）有最小值h（1）=（-a²-a+1）e；
②若-a-1∈（1，2）即a∈（-3，-2）时，当x∈（1，-a-1）时有h′（x）＜0，
此时h（x）在（1，-a-1）上单调递减，
当x∈（-a-1，2）时有h′（x）＞0，此时h（x）在（-a-1，2）上单调递增，
∴h（x）有最小值h（-a-1）=（2a+3）e^-a-1；
③若-a-1∈[2，+∞）即a∈（-∞，-3]时，h′（x）＜0在[1，2]上成立，
此时h（x）在[1，2]上单调递减，
h（x）有最小值h（2）=（-a²-a+3）e^x．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想，根据极值点与区间的位置关系分类讨论是解决（Ⅱ）问的关键．