Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（2a-c）cosB=bcosC
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=

3

，求a+c的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，再利用基本不等式即可求出a+c的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
则B=

π

3

；
（Ⅱ）∵b=

3

，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
∵（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3×（

a+c

2

）²=

(a+c)2

4

，
∴3≥

(a+c)2

4

，
则a+c≤2

3

，当且仅当a=c=

3

时，a+c取得最大值为2

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握定理是解本题的关键．