Question

已知点A（2，3），B（-2，-1），直线MN过原点，其中点M在第一象限，MN∥AB，且|MN|=2

2

，直线AM和直线BN的交点C在y轴上．
（Ⅰ）求直线MN的方程；
（Ⅱ）求点C的坐标．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由A（2，3），B（-2，-1），MN∥AB，得直线MN的斜率k=1，由此能求出直线MN的方程．
（Ⅱ）设M（a，a），a＞0，N（b，b）．由已知直线AM和直线BN的交点C在y轴上，由|MN|=2

2

，|a-b|=2，由直线AM的方程得C（0，

a

a-2

），由直线BN的方程得C（0，

b

b+2

），由此能求出C（0，-1）．

解答： 解：（Ⅰ）由A（2，3），B（-2，-1），得直线AB的斜率k_AB=

3+1

2+2

=1，
∵MN∥AB，∴直线MN的斜率k=1，
∵直线MN过原点，∴直线MN的方程为：y=x．
（Ⅱ）设M（a，a），a＞0，N（b，b）．
由已知直线AM和直线BN的交点C在y轴上，
则a≠2，b≠-2，
由|MN|=2

2

，得

(a-b)2+(a-b)2

=2

2

，
∴|a-b|=2，
直线AM的方程为y-3=

a-3

a-2

(x-2)，令x=0，得C（0，

a

a-2

），
直线BN的方程为y+1=

b+1

b+2

(x+2)，令x=0，得C（0，

b

b+2

），
∴

a

a-2

=

b

b+2

，化简，得a=-b，
将其代入|a-b|=2，并且a＞0，得a=1，b=-1．
∴C（0，-1）．

点评：本题考查直线方程的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意直线斜率公式的合理运用．