Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），其焦点F到准线的距离为2．过焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求△ABO（O为原点）面积的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线的焦点F到准线的距离为2，求出p的值，可得抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ty+1，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，即可求△ABO面积的最小值；

解答： 解：（1）∵抛物线的焦点F到准线的距离为2，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）焦点F（1，0），设直线l：x=ty+1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则
代入y²=4x，消去x得y²-4ty-4=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4，
∴S_△ABO=

1

2

•1•|y₁-y₂|=

1

2

16t2+16

=2

t2+1

∴当t=0时，S_△ABO取得最小值2．

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．