Question

已知（x+

3

3 x

）ⁿ的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．
（1）求含x²的项的系数；
（2）求展开式中所有的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）由题意可得

4n

2n

=64，求得 n=6，可得展开式的通项公式．再令x的幂指数等于2，求得r的值，可得含x²的项的系数．
（2）在展开式的通项公式中，令x的幂指数6-

4r

3

为有理数，可得r=0，3，6，从而求得有理项．
（3）设第r+1项的系数为a_r，由通项公式可得a_r=

C

r 6

•3^r，可得展开式各项的系数，从中找出系数最大的．

解答： 解：（1）令x=1，可得（x+

3

3 x

）ⁿ的展开式中，各项系数的和为4ⁿ，而其二项式系数的和为2ⁿ，
由

4n

2n

=64，求得 n=6，故展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 6

•3^r•x6-

4r

3

，
令6-

4r

3

=2，求得r=3，∴含x²的项的系数为

C

3 6

•3³=540．
（2）由（1）可得，展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 6

•3^r•x6-

4r

3

，令6-

4r

3

为有理数，可得r=0，3，6，
故有理项为 T₁=x⁶，T₄=540x²，T₇=

36

x2

．
（3）设第r+1项的系数为a_r=

C

r 6

•3^r，
则展开式各项的系数分别为 a₀=1，a₁=18，a₂=135，a₃=540，a₄=1215，a₅=1458，a₆=729，
故系数最大的项为第六项，T₆=1458x

2

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．