Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，AA₁=2，E、F分别是棱B₁C₁、B₁B的中点，H在棱CC₁上，且AB⊥AH．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-B₁EF的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明AB⊥平面AA₁C₁C，只需证明AA₁⊥AB，AB⊥AH；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-B₁EF的体积，只需求V_F-A1B1E．

解答： （Ⅰ）证明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC
∴AA₁⊥AB，…（2分）
又∵AB⊥AH，AA₁∩AH=A，∴AB⊥平面AA₁C₁C…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：∠B₁A₁C₁=90°
∵AB=AC=1，BB₁=2，∴S△A1B1C1=

1

2

•1•1=

1

2

∵E、F分别是棱B₁C₁、B₁B的中点，BB₁=2，
∴S△A1B1E=

1

4

，B₁F=1…（8分）
又∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴三棱锥A₁-B₁EF的体积为V_F-A1B1E=

1

3

•

1

4

•1=

1

12

…（12分）

点评：本小题主要考查直线和直线、直线和平面的垂直关系、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查了数形结合和化归与转化的数学思想方法．