Question

复数z=m²+5m+6+（m²-2m-15）i．
（Ⅰ）实数m取什么数值时，复数z为纯虚数；
（Ⅱ）当m=-4时，复数z₀=z+a+（a-5）i（a∈R），求复数z₀的模的最小值．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：计算题,数系的扩充和复数

分析：（Ⅰ）由纯虚数的定义可得方程，解出即可；
（Ⅱ）m=-4时，表示出z₀，|z₀|，利用二次函数的性质可求；

解答： 解：（I）∵z为纯虚数，
∴

m2+5m+6=0 m2-2m-15≠0

，
解得

m=-2或m=-3 m≠5且m≠-3

，
∴m=-2，
（II）m=-4时，z=2+9i，z₀=z+a+（a-5）i=（2+a）+（a+4）i，
|z₀|=

(2+a)2+(a+4)2

=

2a2+12a+20

=

2(a+3)2+2

≥

2

，
∴复数z₀的模的最小值为

2

．

点评：该题考查复数的基本概念、代数形式的乘除运算及复数的模，属基础题．