Question

如图1所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．
（1）若a＞d，将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会变大吗？为什么？
（2）现有一根横截面为半圆，半径为

3

的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木（如图2所示），其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？

Answer 1

考点：不等式的综合,弧度与角度的互化

专题：不等式

分析：（1）根据题意，可设原来的安全负荷为y1=k•

ad2

l2

，k为正常数，由翻转90°后，安全负荷为y2=k•

da2

l2

，然后通过作商比较大小，讨论a、d的大小关系，可得正确结论；
（2）半圆的半径为R，设截取的枕木宽为a，高为d，则根据垂径定理，得a²+4d²=4R²．根据木材长度l为枕木规定的长度是一个不变的定值，得到当u=ad²最大时，安全负荷最大，建立关系式u=d2

a2

．利用基本不等式可得d=

2

，a=2时，安全负荷最大．

解答： 解：（1）由题意设安全负荷为y1=k•

ad2

l2

，k为正常数，
由翻转90°后，安全负荷为y2=k•

da2

l2

，
∵

y1

y2

=

d

a

，0＜d＜a，
∴y₁＜y₂，
∴枕木的安全负荷会变大．
（2）如图，设截取有枕木宽度为a，高为d，
根据垂径定理，得(

a

2

)2+d2=R2，即a²+4d²=4R²，
∵∵枕木长度不变，
∴u=ad²最大时，安全负荷最大
∴u=d2

a2

=d 2

12-4d2

=2

d4(3-d2)

=4

d2 2 • d2 2 •(3-d2)

≤4

( d2 2 + d2 2 +(3-d2))3 3

=4，
当且仅当

d2

2

=3-d2，即d=

2

，a=2时，u最大，即安全负荷最大．

点评：本题借助于一个实际问题，通过求枕木安全负荷的最值，着重考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了根据实际问题选择函数类型的方法，属于中档题