Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点P（-1，0），Q（0，

3

），圆C_n：（x-a_n）²+（y-b_n）²=r_n²（0≤a₁＜a₂＜a₃＜…）与x轴和直线l均相切，在x轴上的切点为A_n（n=1，2，3…），且相邻两圆都外切．
（1）求直线l的方程；
（2）若a₁=0，求圆C₁的方程；
（3）若a₁=0，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）由直线的截距式方程，即可求出直线l的方程；
（2）由于圆C₁与x轴和直线l均相切，由d=r，即可求出b₁，r₁，从而得到圆C₁的方程；
（3）由于圆C_n-1和圆C_n相切和x轴、直线l均相切，得到两圆的方程，由相切的条件，列出方程，
消去a_n，a_n-1，得到b_n=3b_n-1，求出b_n的通项，从而得到a_n的通项．

解答： 解：（1）由直线的截距式方程，得

x

-1

+

y

3

=1，即直线l的方程为

3

x-y+

3

=0；
（2）若a₁=0，则圆C₁：x²+（y-b₁）²=r₁²
由于圆C₁与x轴和直线l均相切，则b₁=r₁，

3 -b1

2

=r1，解得b₁=r₁=

3

3

，
故圆C₁：x²+（y-

3

3

）²=

1

3

；
（3）由于圆C_n-1和圆C_n相切和x轴、直线l均相切，则圆C_n-1：（x-a_n-1）²+（y-b_n-1）²=b_n-1²，
圆C_n：（x-a_n）²+（y-b_n）²=b_n²，
∴

3 an-bn+ 3

2

=bn，

3 an-1-bn-1+ 3

2

=bn-1
相减得，a_n-a_n-1=

3

（b_n-b_n-1），
又（a_n-a_n-1）²+（b_n-b_n-1）²=（b_n+b_n-1）²，
∴2（b_n-b_n-1）=b_n+b_n-1，即有b_n=3b_n-1，
∴b_n=b₁•3^n-1=

3

3

•3^n-1，
∴a_n=

3

b_n-1=3^n-1-1．

点评：本题主要考查直线方程与圆的方程及其应用，考查直线与圆相切的条件和圆与圆相切的条件，同时考查等比数列的通项及运用，是一道中档题．