Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（Ⅱ）设AC与BD的交点为O，连结OE，利用V_E-BCD=

1

3

S_△CEO•BD，可求三棱锥E-BCD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?面ABCD，
∴PA⊥BD．
∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，
∴PC⊥BD．
又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC．…（6分）
（Ⅱ）解：如图，设AC与BD的交点为O，连结OE．

∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE．
由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，
由题设条件知，四边形ABCD为正方形．
由AD=2，得AC=BD=2

2

，OC=

2

．
在Rt△PAC中，PC=

PA2+AC2

=

12+(2 2 )2

=3．
易知Rt△PAC∽Rt△OEC，
∴

OE

PA

=

CE

AC

=

OC

PC

，即

OE

1

=

CE

2 2

=

2

3

，∴OE=

2

3

，CE=

4

3

．
∴V_E-BCD=

1

3

S_△CEO•BD=

1

3

•

1

2

OE•CE•BD=

1

6

•

2

3

•

4

3

•2

2

=

8

27

．…（13分）

点评：本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．