Question

已知△ABC是边长为2的正三角形，P、Q依次是AB、AC边上的点，且线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分．设AP=x，AQ=t，PQ=y，求：
（1）t关于x的函数关系式；
（2）y关于x的函数关系式；
（3）y的最小值与最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法

专题：解三角形,不等式的解法及应用

分析：（1）利用线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，建立方程，即可求t关于x的函数关系式，并确定x的范围；
（2）利用余弦定理和（1）求出的解析式，确定函数解析式和定义域；
（3）由（2）求出的额解析式和定义域，利用基本不等式求出函数的最值．

解答： 解：（1）由已知得，

1

2

×2×2×sin60°=2×

1

2

×t×x×sin60°，
化简得tx=2，即t=

2

x

，
由

0＜x≤2 0＜ 2 x ≤2

得，1＜x≤2，
则t=

2

x

，且x∈（1，2]
（2）在△QAP中由余弦定理可知y²=t²+x²-2txcos60°，
则y=

t2+x2-tx

=

4 x2 +x2-2

，且x∈（1，2]
（3）由（2）得，y=

4 x2 +x2-2

，且x∈（1，2]
∴

4

x2

+x2-2≥2

4 x2 ×x2

-2=2，当且仅当

4

x2

=x2，即x=

2

时等号成立，
∴x=

2

时，y_min=

2

当x=1或2时，y_max=

3

．

点评：本题考查三角形面积的计算，考查余弦定理的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．