Question

如图，E是以AB为直径的半圆上异于点A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在平面，且AB=2AD=2．
（Ⅰ）求证：EA⊥EC；
（Ⅱ）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F，
    ①求证：EF∥AB；
    ②若EF=1，求多面体ABCDEF的体积V．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性质，可得BC⊥平面ABE，再利用线面垂直的判定证明AE⊥面BCE，即可证得结论；
（Ⅱ）①先证明AB∥面CED，再利用线面平行的性质，即可证得结论；
②分别取AB、EF的中点为O、M，连接OM，利用V=V_D-AEF+V_E-ABCD，可得结论．

解答： （Ⅰ）证明：∵E是半圆上异于A、B的点，∴AE⊥EB，
又∵矩形平面ABCD⊥平面ABE，且CB⊥AB，
由面面垂直性质定理得：CB⊥平面ABE，∴平面CBE⊥平面ABE，
且二面交线为EB，由面面垂直性质定理得：AE⊥平面CBE，
又EC在平面CBE内，故得：EA⊥EC…（4分）
（Ⅱ①证明：由CD∥AB，得CD∥平面ABE，
又∵平面CDE∩平面ABE于直线EF，
∴根据线面平行的性质定理得：CD∥EF，CD∥AB，故EF∥AB               …（7分）
②解：分别取AB、EF的中点为O、M，连接OM，则在直角三角形OME中，OM=

3

2

，
∵矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在平面，OM⊥AB，
∴OM⊥平面ABCD，即OM为M到面ABCD之距，
又∵EF∥AB，∴E到到面ABCD之距也为OM=

3

2

，…（9分）
∴V=V_D-AEF+V_E-ABCD=

1

3

×

1

2

×1×

3

2

×1+

1

3

×2×1×

3

2

=

5 3

12

           …（12分）

点评：本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，考查线面垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．