Question

设函数f（x）=-

1

2

a²•x²+lnx．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求出函数定义域、函数的导数，分a=0，a＞0，a＜0三种情况讨论，在定义域内解不等式f′（x）＞0即可；
（2）由题意知（1，+∞）为函数f（x）减区间的子集，由（1）问题可得函数的单调减区间，然后由包含关系可得不等式；

解答： 解：（1）∵f(x)=-

1

2

a2•x2+lnx，其定义域为（0，+∞）．
∴f′(x)=-a2•x+

1

x

，
①当a=0时，f′(x)=

1

x

＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
②当a＞0时，f′(x)=-a2•x+

1

x

=

-a2x2+1

x

=

-a2(x+ 1 a )(x- 1 a )

x

，
则当x∈(0，

1

a

)时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调递增区间为(0，

1

a

)；
③当a＜0时，f′(x)=-a2•x+

1

x

=

-a2x2+1

x

=

-a2(x- 1 a )(x+ 1 a )

x

，
则当x∈(0，-

1

a

)时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调递增区间为(0，-

1

a

)．
（2）由（1）知，当a=0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），不合题意．
当a＞0时，f（x）在(

1

a

，+∞)上单调递减，
∴

1

a

≤1，解得a≥1；
当a＜0时，f（x）在(-

1

a

，+∞)上单调递减，
∴-

1

a

≤1，解得a≤-1．
综上：a的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性，属中档题，函数f（x）在区间（a，b）上单调，则（a，b）为f（x）减区间的子集．