Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，已知侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B₁BC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A-B₁B-C为30°，
（Ⅰ）证明：面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C及求AB₁与平面AA₁C₁C所成角的正切值；
（Ⅱ）在平面AA₁B₁B内找一点P，使三棱锥P-BB₁C为正三棱锥，并求此时

VP-AA1C1C

VP-BB1C1C

的值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的性质

专题：综合题

分析：（1）根据条件和线面垂直的判定定理得：AC⊥面BB₁C₁C，再由面面垂直的判断定理证明出面BB₁C₁C⊥面AA₁C₁C，再根据条件和线面垂直、面面垂直分别做出二面角A-BB₁-C的平面角、AB₁与面AA₁C₁C所成的线面角，并分别证明和计算求解；
（2）根据正三棱锥的定义和正三角形重心的性质，找到点P，再由条件求出PP₁和点E到平面AA₁C₁C的距离，代入三棱锥的体积公式求出两个棱锥的体积比值．

解答： 解：（Ⅰ）∵面BB₁C₁C⊥面ABC，且面BB₁C₁C∩面ABC=BC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BB₁C₁C，
则面BB₁C₁C⊥面AA₁C₁C            （3分）
取BB₁中点E，连接CE，AE，
在△CBB₁中，BB₁=CB=2，∠CBB₁=60°
∴△CBB₁是正三角形，∴CE⊥BB₁，
又∵AC⊥面BB₁C₁C，且BB₁?面BB₁C₁C，
∴BB₁⊥AE，即∠CEA即为二面角A-BB₁-C的平面角为30°，
∵AC⊥面BB₁C₁C，
∴AC⊥CE，在Rt△ECA中，CE=

3

，
∴AC=CE•tan30°=1，取C₁C中点D，连接AD，B₁D，
∵△CBB₁是正三角形，且BB₁=CB=2，∴B₁D⊥C₁C，
∵AC⊥面BB₁C₁C，∴AC⊥面B₁D，
∵C₁C∩AC=C，∴B₁D⊥面AA₁C₁C，
即∠B₁DA即AB₁与面AA₁C₁C所成的线面角，
则tan∠DAB₁=

B1D

AD

=

6

2

，…（8分）
（Ⅱ）在CE上取点P₁，使

CP1

P1E

=

2

1

，
∵CE是△BB₁C的中线，∴P₁是△BB₁C的重心，
在△ECA中，过P₁作P₁P∥CA交AE于P，
∵AC⊥面BB₁C₁C，P₁P∥CA，
∴PP₁⊥面CBB₁，即P点在平面CBB₁上的射影是△BCB₁的中心，该点即为所求，
且

PP1

AC

=

1

3

，∴PP₁=

1

3

，
∵B₁D∥CE，且B₁D=CE=

3

，
∴

VP-AA1C1C

VP-BB1C1C

=

1 3 ×1×2× 2 3 × 3

1 3 ×2× 3 × 1 3

=2．…（12分）

点评：本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判断定理和性质定理的综合应用，二面角、线面角的求解构成，以及三棱锥的体积公式的应用，难度很大．