Question

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在x=

5π

12

处取得最大值3，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）当

π

4

≤x≤

π

2

时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意，可知A=3，T=

2π

ω

=π，可求得ω=2；再由f（

5π

12

）=3，-π＜φ＜π，可求得φ，于是可得f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的单调性可得f（x）的单调增区间；
（3）当

π

4

≤x≤

π

2

时，

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，于是可求

3

2

≤3sin（2x-

π

3

）≤3，从而可得f（x）的取值范围．

解答： 解：（1）依题意得A=3，

T

2

=

π

2

，
∴T=

2π

ω

=π，
解得：ω=2；
又2×

5π

12

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=2kπ-

π

3

（k∈Z），又-π＜φ＜π，
∴φ=-

π

3

，
∴f（x）=3sin（2x-

π

3

）；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）
得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，（k∈Z）
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）；
（3）当

π

4

≤x≤

π

2

时，

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴

3

2

≤3sin（2x-

π

3

）≤3，即f（x）的取值范围为[

3

2

，3]．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性及最值，属于中档题．