对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d.给出定义:设f′的导数.f″的导数.若方程f″(x)=0有实数解x0.则称(x0.f(x0))为函数y=f(x)的“拐点．可以证明.任何三次函数都有“拐点 .任何三次函数都有对称中心.且“拐点就是对称中心.请你根据这一结论判断下列命题:①任意三次函数都关于点(-b3a.f(-b3a))对称:②存在三次函数f� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：
①任意三次函数都关于点(-

，f(-

))对称：
②存在三次函数f′（x）=0有实数解x₀，点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数g（x）=

x³-

x²-

，则g(

2013

)+g(

2013

)+g(

2013

)+…+g(

2012

2013

)=-1006．
其中正确命题的序号为

（把所有正确命题的序号都填上）．

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：新定义

分析：①根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的对称中心；
②③利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断；
④由函数g（x）的对称中心是（

，-

），得g（x）+（g（1-x）=-1，由此能求出g（

2013

）+…+g（

2012

2013

）的值．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″（x）=6a×（-

）+2b=0，
∴任意三次函数都关于点（-

，f（-

））对称，即①正确；
∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，
∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x₀，点（x₀，f（x₀））为y=f（x）的对称中心，即②正确；
任何三次函数都有且只有一个对称中心，故③不正确；
∵g′（x）=x²-x，g^″（x）=2x-1，
令g^″（x）=0，可得x=

，∴g（

）=-

，
∴g（x）=

x³-

x²-

的对称中心为（

，-

），
∴g（x）+g（1-x）=-1，
∴g（

2013

）+g（

2013

）+…+g（

2012

2013

）=-1×1006=-1006，故④正确．
故答案为：①②④．

点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>