Question

已知圆C的方程为x²+y²+6x-8y=0，直线l：y=kx+2k+1．
（Ⅰ）当k=2时，求圆C关于直线l对称的圆M的方程；
（Ⅱ）求直线l被圆M截得的弦长的最大值和最小值，并求出相应的直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）求出圆C关于直线l对称的点的坐标，即可求出圆C关于直线l对称的圆M的方程；
（Ⅱ）当直线l过圆心M时，弦长的最大；当直线l过P且与PM垂直时，弦长最小．

解答： 解：（Ⅰ）圆C的方程为x²+y²+6x-8y=0，可化为（x+3）²+（y-4）²=25，则圆心C（-3，4），半径为5．
当k=2时，直线l：y=2x+5，
设M（a，b），则

b-4 a+3 ×2=-1 b+4 2 =2× a-3 2 +5

，
∴a=1，b=2，
∴圆M的方程为（x-1）²+（y-2）²=25；
（Ⅱ）直线l的方程可化为y-1=k（x+2），恒过定点P（-2，1），在圆内．
当直线l过圆心M时，弦长的最大值为直径10，此时l的方程为y-1=

2-1

1+2

（x+2），即x-3y+5=0；
当直线l过P且与PM垂直时，弦长最小，此时|PM|=

10

，最小为2

52-10

=2

15

，l的方程为3x+y+5=0．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．