Question

在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx+cosx≤1”发生的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：利用三角函数的辅助角公式求出sinx+cosx≤1的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

解答： 解：由sinx+cosx≤1得

2

sin（x+

π

4

）≤1，
即sin（x+

π

4

）≤

2

2

，
∴-

π

2

+2kπ≤x≤2kπ+

π

4

或2kπ+

3π

4

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
即-

3π

4

+2kπ≤x≤2kπ或2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

5π

4

，k∈Z
∵0≤x≤π，
∴当k=0时，x的取值范围是

π

2

≤x≤

5π

4

，即

π

2

≤x≤π，
则“sinx+cosx≤1”发生的概率P=

π- π 2

π-0

=

1

2

，
故答案为：

1

2

点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用辅助角公式求出不等式的等价条件是解决本题的关键．