Question

19．设关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若实数a、b满足不等式（a-2）²+（b-1）²≤1，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析 （1）根据判别式得出a²≥b²，判断总共有4×3=12个基本事件，列举符合题意的事件为9个，根据公式计算即可．
（2）实数a、b满足不等式（a-2）²+（b-1）²≤1，即a²≥b²，运用几何意义得出，圆与阴影部分，求解面积即可得出概率．

解答 解：∵关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有解．
∴△=2a²-4b²≥0，即a²≥b²，
（1）a是从0，1，2，3四个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，
总共有4×3=12个基本事件，
当a=0，b=0；
当a=1，b=0，1；
当a=2，b=0，1，2；
当a=3，b=0，1，2，
∴方程有根的情况为9中
即符合题意的事件为9个，
方程有实根的概率为$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$，
（2）实数a、b满足不等式（a-2）²+（b-1）²≤1，
∴△=2a²-4b²，△≥0，即a²≥b²，
∵圆心为（2，1），半径为1，∴面积为π．

阴影部分的面积为$\frac{3π}{4}$$+\frac{1}{2}$．
根据几何概率求解得出：
方程有实根的概率：$\frac{\frac{3π}{4}+\frac{1}{2}}{π}$．

点评 本题考查了直线与圆的方程，古典概率，几何概率的求解，关键判断古典还是几何概率，运用公式求解．