Question

在平面直角坐标系xOy中,有一个以F₁(0,-)和F₂(0, )为焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量=+.求:

(1)点M的轨迹方程;

(2)||的最小值.

Answer 1

解:(1)椭圆方程可写为=1,?

式中a＞b＞0,且

得a²=4,b²=1,所以曲线C的方程为x²+=1(x＞0,y＞0).?

y=2(0＜x＜1),

y′=-

设P(x₀,y₀),因P在C上,有0＜x₀＜1,y₀=2,y′|_x=x₀=-,得切线AB的方程为y=-(x-x₀)+y₀.?

设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=,y=?

由=+得M的坐标为(x,y),由x₀、y₀满足C的方程,得点M的轨迹方程为=1(x＞1,y＞2).?

(2)∵||²=x²+y²,

y²==4+,

∴||²=x²-1++5≥4+5=9且当x²-1=,即x=＞1时,上式取等号.?

故||的最小值为3.