【题目】已知⊙M过点,且与⊙N:
内切,设⊙M的圆心M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程:
(2)设直线l不经过点且与曲线C相交于P,Q两点.若直线PB与直线QB的斜率之积为
,判断直线l是否过定点,若过定点,求出此定点坐标;若不过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,直线l过定点
【解析】
(1)由两圆相内切的条件和椭圆的定义,可得曲线C的轨迹方程;
(2)设直线BP的斜率为,则BP的方程为
,联立椭圆方程,解得交点P,同理可得Q的坐标,考虑P,Q的关系,运用对称性可得定点.
解:(1)设⊙M的半径为R,因为圆M过,且与圆N相切
所以,即
,
由,所以M的轨迹为以N,A为焦点的椭圆.
设椭圆的方程为1(a>b>0),则2a=4,且c
,
所以a=2,b=1,所以曲线C的方程为y2=1;
(2)由题意可得直线BP,BQ的斜率均存在且不为0,
设直线BP的斜率为,则BP的方程为y=kx+1,联立椭圆方程
,
可得,解得
则,
因为直线BQ的斜率为,
所以同理可得,
因为P,Q关于原点对称,(或求得直线l的方程为)
所以直线l过定点
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【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,
,
,
,且
.
(1)过作截面与线段
交于点H,使得
平面
,试确定点H的位置,并给出证明;
(2)在(1)的条件下,若二面角的大小为
,试求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】某企业引进现代化管理体制,生产效益明显提高.2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍,实现翻番.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例,下列说法正确的是( )
A.该企业2018年原材料费用是2017年工资金额与研发费用的和
B.该企业2018年研发费用是2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和
C.该企业2018年其它费用是2017年工资金额的
D.该企业2018年设备费用是2017年原材料的费用的两倍
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【题目】设函数f(x)=|x﹣a|+|x+b|,ab>0.
(1)当a=1,b=1时,求不等式f(x)<3的解集;
(2)若f(x)的最小值为2,求的最小值.
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【题目】2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年,也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点.作为制造业城市,佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路.在推动制造业高质量发展的大环境下,佛山市某工厂统筹各类资源,进行了积极的改革探索.下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量(件)与相应的生产总成本
(万元)的四组对照数据.
5 | 7 | 9 | 11 | |
200 | 298 | 431 | 609 |
工厂研究人员建立了与
的两种回归模型,利用计算机算得近似结果如下:
模型①:;
模型②:.
其中模型①的残差(实际值预报值)图如图所示:
(1)根据残差分析,判断哪一个更适宜作为关于
的回归方程?并说明理由;
(2)市场前景风云变幻,研究人员统计了20个月的产品销售单价,得到频数分布表如下:
销售单价分组(万元) | |||
频数 | 10 | 6 | 4 |
若以这20个月销售单价的平均值定为今后的销售单价(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),结合你对(1)的判断,当月产量为12件时,预测当月的利润.
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【题目】上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意图,图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.
由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如下表:
黄赤交角 | |||||
正切值 | 0.439 | 0.444 | 0.450 | 0.455 | 0.461 |
年代 | 公元元年 | 公元前2000年 | 公元前4000年 | 公元前6000年 | 公元前8000年 |
根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是( )
A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年
C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年
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【题目】已知数列为等差数列,且
,
(Ⅰ)求数列的通项
,及前
项和
(Ⅱ)请你在数列的前4项中选出三项,组成公比的绝对值小于1的等比数列
的前3项,并记数列
的前n项和为
.若对任意正整数
,不等式
恒成立,试求
的最小值.
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