Question

【题目】已知函数 ， .

（1）若存在极值点1，求的值；

（2）若存在两个不同的零点，求证： （为自然对数的底数， ）.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）由存在极值点为1，得，可解得a.

（2）函数的零点问题，实质是对函数的单调性进行讨论， 时， 在上为增函数（舍）；当时，当时， 增，当时， 为减，又因为存在两个不同零点，所以，解不等式可得.

试题解析：(1) ，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以.

(2)

①当时， 恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；

②当时，由得，

当时， ，所以为增函数，

当时， ，所为增函减数，

所以当时， 取得极小值

又因为存在两个不同零点，所以，即

整理得，令， ， 在定义域内单调递增， ，由知，故成立.