Question

已知

a

=（cosnα，sinnα），

b

=（cosnβ，sinnβ），a_n=

a

•

b

．
（1）若n=1，且

a

⊥

b

，求证：|

a

-

b

|=

2

；
（2）若α-β=

π

2

，求数列{a_n}的前2n项的和．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,数列的求和

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据三角函数的角的关系，sin²α+cos²α=1，得到|

a

|=|

b

|=1，再根据垂直关系得到

a

•

b

=0，问题得以解决．
（2）根据三角函数中的运算得a_n=cosn（α-β），再分类讨论即可．

解答： （1）证明：∵

a

=（cosnα，sinnα），

b

=（cosnβ，sinnβ），
∴当n=1时，

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴|

a

|=|

b

|=1，
∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0
∴|

a

-

b

|²=|

a

|2+|

b

|2-2

a

•

b

=2，
∴|

a

-

b

|=

2

；
（2）∵

a

=（cosnα，sinnα），

b

=（cosnβ，sinnβ），a_n=

a

•

b

．
∴a_n=

a

•

b

=cosnαcosnβ+sinnαsinnβ=cosn（α-β），
∵α-β=

π

2

，
∴a_n=cosn（α-β）=cos（n•

π

2

）
当n为奇数时，a_n=0，
当n为偶数时，是4的倍数时a_n=1，是2的倍数不是4的倍数时a_n=-1
则数列{a_n}为0，-1，0，1，0，-1，0，1，…，
故数列{a_n}的前2n项的和为S_2n=

-1，n为奇数 0，n为偶数

．

点评：本题主要考查了平面向量的数量积的运算，向量的垂直，向量的模的计算，属于中档题．