Question

已知等差数列{a_n}中，a₁+a₃+a₅=21，a₂+a₄+a₆=27，数列{b_n}的前n项和为S_n，且4S_n=3b_n-a₁．
（1）求a_n，b_n；
（2）若c_n=

1

anan+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）当n∈N^*时，求d_n=

4bn+1

bn-1

的最小值和最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列通项的性质，求出公差，可求等差数列{a_n}的通项，利用再写一式，两式相减，可得数列{b_n}是以-3为首项，-3为公比的等比数列，可求数列{b_n}的通项；
（2）分类讨论，能求出d_n=

4bn+1

bn-1

的最小值和最大值．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则
∴a₁+a₃+a₅=21，a₂+a₄+a₆=27，
∴3a₃=21，3a₄=27，
∴a₃=7，a₄=9，∴d=2，
∴a_n=a₃+2（n-3）=2n+1，
∴a₁=3，∴4S_n=3b_n-3，①
n=1时，4S₁=3b₁-3，∴b₁=-3，
n≥2时，4S_n-1=3b_n-1-3，②，
∴①-②整理得b_n=-3b_n-1，
∴数列{b_n}是以-3为首项，-3为公比的等比数列，
∴b_n=（-3）ⁿ．
（2）∵c_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)，
=

n

6n+9

．
（3）d_n=

4bn+1

bn-1

=4+

5

(-3)n-1

，
n为奇数时，dn=4-

5

3n+1

，
∵3ⁿ+1≥4，n=1时取等号，
∴

11

4

≤4-

5

3n+1

＜4，
n为偶数时，dn=4+

5

3n-1

，
∵3ⁿ-1≥8，n=2时取等号，
∴4≤4+

5

3n-1

≤

37

8

，
综上，

11

4

≤dn≤

37

8

，d_n≠4，
∴d_n=

4bn+1

bn-1

的最小值是

11

4

，最大值是

37

8

．

点评：本题考查等差数列于等比数列的定义，通项公式，考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．